Question

已知奇函数f（x），偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求证：f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）设f（x）的反函数时，比较f^-1[g（x）]与-1的大小，证明你的结论；
（3）若a＞1，n∈N*，且n≥2，比较f（n）与nf（1）的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）以-x代x得f（-x）=g（-x）+a-x再根据函数的奇偶性进行化简，得到关于f（x）与g（x）的方程组，解之即可求出函数f（x）的解析式，从而证得f（2x）=2f（x）g（x）；
（2）根据互为反函数的单调性的关系可得出y=f-1（x）是R上的减函数，再将-1代入，可求出f（-1）的值，结合反函数的单调性比较大小即得；
（3）欲比较f（n）与nf（1）的大小，先作差，再构成函数．根据导数研究此函数的单调性，从而得到证明．
证明：（1）∵f（x）+g（x）=ax，∴f（-x）+g（-x）=a-x
∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴-f（x）+g（x）=a-x…2分
∴f（x）=，g（x）=． …3分
∴f（x）g（x）=，即f（2x）=2f（x）g（x）．…5分
（2）∵，∴是R上的减函数，
∴y=f-1（x）是R上的减函数．…6分
又∵，
∴，
∴f-1[g（x）]≤-1．…8分
（3）．10分
构成函数．

当x＞1，n≥2时，∅'（x）＞0，
∴∅（x）在[1，+∞）上是增函数．
a＞1时，∅（a）＞∅（1），即（an-a-n-na+na-1）＞（1-1-n+n）=0，
∴f（n）-nf（1）＞0，即f（n）＞nf（1）．（13分）．