Question

长度为a（a＞0）的线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且（λ为常数且λ＞0）．
（I）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型；
（II）当λ=2时，已知直线l₁与原点O的距离为，且直线l₁与轨迹C有公共点，求直线l₁的斜率k的取值范围．

Answer

（I）欲求点P的轨迹方程，设点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意知点P满足于得到一个关系式，再结合线段AB的长度为a（a＞0）化简即得点P的轨迹方程，最后对参数λ进行讨论来判断轨迹是什么图形即可．
（II）设直线l1的方程：y=kx+h，先由直线l1与原点O的距离为，得出h与k的关系，再将直线方程代入（1）中的方程，利用根的判别式△=9（4+k2）a2-81h2≥0即可求出斜率k的取值范围．
【解析】
（I）设P（x，y）、A（x，0）、B（0，y），
则，
由此及|AB|=a⇒x2+y2=a2，得，
即．（*）（3分）
①当0＜λ＜1时，方程（*）的轨迹是焦点为，
长轴长为的椭圆；
②当λ＞1时，方程（*）的轨迹是焦点为，
长轴长为的椭圆；
③当λ=1时，方程（*）的轨迹是焦点为以O点为圆心，
为半径的圆． （6分）
（II）设直线l1的方程：y=kx+h，
据题意有，即． （9分）
由
得．
因为直线l1与椭圆有公共点，
所以△=9（4+k2）a2-81h2≥0，又把代入上式，
得，∴． （12分）