Question

已知首项不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意的r，t∈N^*，都有．
（Ⅰ）判断数列{a_n}是否为等差数列，并证明你的结论；
（Ⅱ）若数列{b_n}的第n项b_n是数列{a_n}的第b_n-1项（n≥2，n∈N^*），且a₁=1，b₁=3，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）因为已知前n项和可求得通项用通项公式法判断；
（II）由（I）知an=2n-1，则根据题意得出bn与bn-1间的关系，构造等比数列bn-1，求得bn进而求得Tn
【解析】
（Ⅰ）令t=1，r=n，得，于是Sn=n2a1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n-1）a1；
当n=1时，S1=a1也适合上式．
综上知，an=（2n-1）a1．
所以an-an-1=2a1．
故数列{an}是公差d=2a1的等差数列．
（Ⅱ）当a1=1时，由（Ⅰ）知，an=2n-1．
于是bn=2bn-1-1，即bn-1=2（bn-1-1）．
因此数列{bn-1}是首项为b1-1=2，公比为2的等比数列，所以bn-1=2×2n-1=2n．即bn=2n+1．
故．