Question

如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC中，|OA|=2，，点P，Q满足，，点D是C关于原点的对称点，直线DP与CQ相交于点M．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与点M的轨迹相交于E，F两点，求△AEF的面积的最大值．

Answer

（1）由向量运算得到直线DP的方程和直线CQ的方程，消去参数即可得到M的轨迹方程；
（2）欲求△AEF的面积的最大值，先将△AEF的面积表示成某个变量的函数，再利用基本不等式求函数的最大值即可．
【解析】
（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由图可知A（2，0），，，．
由，得点P的坐标为（2λ，0）；
由，得点Q的坐标为．
于是，当λ≠0时，直线DP的方程为，①
直线CQ的方程为．②
①×②，得，即．
当λ=0时，点M即为点C，而点C的坐标也满足上式．
故点M的轨迹方程为．

（Ⅱ）设过点（1，0）的直线EF的方程为x=my+1，且设E（x1，y1），F（x2，y2）．
由
得（3m2+4）y2+6my-9=0．③
由于上述方程的判别式△=（6m）2+36（3m2+4）＞0，所以y1，y2是方程③的两根，
根据求根公式，可得．
又A（2，0），所以△AEF的面积．
令（t≥1），则m2=t2-1．
于是，t≥1．
记，t≥1，则．
因为当t≥1时，f'（t）＞0，所以在[1，+∞）上单调递增．
故当t=1时，f（t）取得最小值，
此时取得最大值．
综上所述，当m=0时，即直线EF垂直于x轴时，△AEF的面积取得最大值．