Question

已知函数f（x）满足条件：
①f（x）＞0②对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）③x＞0时，0＜f（x）＜1，则不等式f^-1（x²-4x+3）＞f^-1（3）的解集为（ ）
A．（-∞，0）∪（4，+∞）
B．（0，4）
C．（0，1）∪（3，4）
D．（-∞，0）∪（3，4）

Answer

先根据条件判定抽象函数f（x）在R上的单调性，然后根据原函数与反函数图象的关系得到函数f-1（x）在（0，+∞）上单调性，然后根据函数值的大小建立不等式，特别注意反函数的定义域．
【解析】
设m＞n，m，n∈R
∵对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）
∴=f（m-n）
∵m-n＞0，x＞0时，0＜f（x）＜1
∴0＜=f（m-n）＜1
而f（x）＞0则f（m）＜f（n）
∴f（x）在R上单调递减
根据原函数与反函数的关系可知f-1（x）在（0，+∞）上单调递减
∵f-1（x2-4x+3）＞f-1（3）
∴0＜x2-4x+3＜3解得x∈（0，1）∪（3，4）
故选C．