Question

数列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1=S_n（n≥1，n∈N*），数列{b_n}是等差数列，其公差d＞0，b₁=1，且b₃、b₇+2、3b₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由an+1=Sn，根据求得数列{an}通项公式，数列{bn}是等差数列，其公差d＞0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比数列，求出数列{bn}的公差，可求得数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的结果代入cn=anbn，利用错位相减法求得{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（I）由已知有Sn+1-Sn=Sn，即Sn+1=2Sn（n∈N*），
∴{Sn}是以S1=a1=1为首项，2为公比的等比数列．
∴Sn=2n-1．
由得
∵b3，b7+2，3b9成等比数列，
∴（b7+2）2=b3•3b9，即（1+6d+2）2=（1+2d）•3（1+8d），
解得d=1或d=（舍），
∴bn=1+（n-1）×1=n．
（II）Tn=a1b1+a2b2++anbn=1×1+2×2+3×21++n×2n-2，
设T=2×2+3×21++n×2n-2，
∴2T=2×21+3×22++n×2n-1，
相减得-T=2+21+22++2n-2-n•2n-1==（1-n）•2n-1，
即T=（n-1）•2n-1，
∴Tn=1+（n-1）•2n-1（n∈N*）．