Question

已知函数，m为正整数．
（I）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1-x）的值；
（II）若数列{a_n}的通项公式为（n=1，2，…，m），求数列{a_n}的前m项和S_m；
（III）设数列{b_n}满足：，b_n+1=b_n²+b_n，设，若（Ⅱ）中的S_m满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求m的最大值．

Answer

（Ⅰ）由函数值的求法令x=1，x=0直接求解f（1）+f（0）；先求得f（1-x）再求解f（x）+f（1-x）．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，
即=1，从而有ak+am-k=1，然后由倒序相加法求解．
（Ⅲ）将bn+1=bn2+bn=bn（bn+1），取倒数转化为：，从而有．
然后用错位相消法求得．
再由sm构造恒成立，用最值法求解．
【解析】
（Ⅰ）=1；
f（x）+f（1-x）===1；（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即=1，∴ak+am-k=1，
由Sm=a1+a2+a3++am-1+am，①
得Sm=am-1+am-2+am-3++a1+am，②
由①+②，得2Sm=（m-1）×1+2am，
∴，（10分）

（Ⅲ）∵，bn+1=bn2+bn=bn（bn+1），∴对任意的n∈N*，bn＞0．
∴，即．
∴．
∵bn+1-bn=bn2＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{bn}是单调递增数列．
∴Tn关于n递增．当n≥3，且n∈N+时，Tn≥T3．
∵
∴．
∴，∴m＜650.5．而m为正整数，
∴m的最大值为650．（14分）