Question

在面积为9的△ABC中，，且．现建立以A点为坐标原点，以∠BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示．
（1）求AB、AC所在的直线方程；
（2）求以AB、AC所在的直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；
（3）过D分别作AB、AC所在直线的垂线DF、DE（E、F为垂足），求的值．

Answer

（1）设直线AC的倾斜角为α，则可得直线AB的倾斜角为π-α，由题意可得，，从而可直线AC与AB的斜率，进而可求直线方程
（2）由（1）可设双曲线的方程可以设为4x2-y2=λ（λ≠0）．由 可得得D代入双曲线方程可得点D，结合△ABC的面积为9可求λ即可
（3）设出D点坐标，由点到直线的距离公式求出|DE|，|DF|，再求出DE和DF所成角的余弦值，注意到此角与角的联系，由向量数量积的定义求解即可．
【解析】
（1）设直线AC的倾斜角为α，则可得直线AB的倾斜角为π-α
由题意可得，

KAC=2KAB=-2
直线AC与AB的方程分别为y=2x，y=-2x
（2）由（1）可设双曲线的方程可以设为4x2-y2=λ（λ≠0）．
设B（x1，-2x1），C（x2，-2x2），由
得 D  
所以 即
由 tan2α=，得 sin2α=又∵|AB|=|x1|，|AC|=
∴S△ABC=|AB|•|AC|sinA=×5x1x2•sin2α=9，
即 ，代入等式（*），得λ=16．
所以，双曲线的方程为
（2）由题设可知，所以 cos〈．
设点D（x，y），
则 ，
于是，点D到AB，AC所在的直线的距离是DE=，DF=
=|DE|•|DF|=• =