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根据定义在集合A上的函数y=f(x),构造一个数列发生器,其工作原理如下: ①输...

根据定义在集合A上的函数y=f(x),构造一个数列发生器,其工作原理如下:
①输入数据x∈A,计算出x1=f(x);
②若x∉A,则数列发生器结束工作;
若x∈A,则输出x1,并将x1反馈回输入端,再计算出x2=f(x1).并依此规律继续下去.
现在有A={x|0<x<1},manfen5.com 满分网(m∈N*).
(1)求证:对任意x∈A,此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn};
(2)若manfen5.com 满分网,记manfen5.com 满分网(n∈N*),求数列{an}的通项公式;
(3)在得条件下,证明manfen5.com 满分网(m∈N*).
(1)当x∈A,即0<x<1 时,由m∈N*,可知0<f(x)<1,即f(x)∈A,故对任意x∈A,有x1=f(x)∈A,由 x1∈A 有x2=f(x1)∈A,以此类推,可一直继续下去,从而可以产生一个无穷数列; (2)易证{bn}是以为首项,以为公比的等比数列,从而求出,从而求出an=+1; (3)要证,即证,只需证,当m∈N*时,利用二项式定理以及放缩法证明不等式即可. 【解析】 (1)当x∈A,即0<x<1 时,由m∈N*,可知m+1-x>0, ∴ 又 ∴ ∴0<f(x)<1,即f(x)∈A 故对任意x∈A,有x1=f(x)∈A,  由 x1∈A 有x2=f(x1)∈A,   x2∈A 有x3=f(x2)∈A; 以此类推,可一直继续下去,从而可以产生一个无穷数列 (2)由xn+1=f(xn)=,可得, ∴, 即. 令bn=an-1,则, 又, 所以{bn}是以为首项,以为公比的等比数列. ,即an=+1       (3)要证,即证,只需证, 当m∈N*时, 有=++…+≥2, 因为,当k≥2 时, 由. 所以,当m≥2时=++…+, <1+1+(1-)+(-)+…(-)=3-<3 又当m=1时,, 所以对于任意m∈N*,都有 所以对于任意m∈N*,都有证.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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