Question

已知椭圆+=1的左右焦点分别为F₁与F₂，点P在直线l：x-y+8+2=0上．当∠F₁PF₂取最大值时，的比值为    ．

Answer

先根据椭圆+=1的方程得出其左右焦点分别为F1（-2，0）、与F2（2，0）．如图，根据平面几何知识知，当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出，最后利用相似比即可求出答案．
【解析】
椭圆+=1的左右焦点分别为F1（-2，0）、与F2（2，0）．
如图，根据平面几何知识知，当∠F1PF2取最大值时，经过F1与F2，的圆与直线l 相切，此时圆心在y轴上，坐标为A（0，2），
在直线l：x-y+8+2=0中令y=0得B的坐标：
B（-8-2，0），
在三角形BPF1和三角形BF2P中，∠BPF1=∠BF2P，
∴△BPF1∽△BF2P，
∴==-1．
故答案为：-1．