Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，=（2a+c，b），=（cosB，cosC），若．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b=，求a+c的最大值．

Answer

（1）由，得，代入整理可得（2a+c）cosB+bcosC=0，结合sinA=sin（B+C），及sinA≠0，可求cosB，进而可求B
（2）由余弦定理得3=a2+c2+ac，即3=（a+c）2-ac，由基本不等式≥可求a+c的最大值
解 （1）由，得，得（2a+c）cosB+bcosC=0，…（2分）
由正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
又sinA=sin（B+C），得2sinAcosB+sinA=0，…（4分）
因为sinA≠0，所以cosB=-，B=                     …（6分）
（2）由余弦定理得3=a2+c2+ac，即3=（a+c）2-ac，（a，c＞0）． …（8分）
因为≥得-ac≥-，
所以3≥（a+c）2-，…（10分）
故（a+c）2≤4，a+c≤2，得a+c的最大值为2                 …（14分）