Question

将圆x²+y²+2x-2y=0按向量=（1，-1）平移得到圆O，直线 l与圆O相交于A、B两点，若在圆O上存在点C，使+=且，求直线l的方程．

Answer

由已知中圆x2+y2+2x-2y=0按向量=（1，-1）平移得到圆O，易求出圆O的方程，根据直线 l与圆O相交于A、B两点，若在圆O上存在点C，使+=且，可得⊥，求出直线l的斜率后，可根据O到AB的距离等于，O到AB的中点D的距离，构造关于m的方程，解方程求出m值后即可得到直线l的方程．
【解析】
由已知圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=2，
按=（1，-1）平移得到圆O：x2+y2=2．…（2分）
∵+=
∴=-（）
∴•=-（）•（）=-=0，
即⊥             …（6分）
又，且=（1，-1），
∴kOC=-1．
∴kAB=1．
设lAB：x-y+m=0，AB的中点为D．
由=-（）=-2，
则||=2||，
又||=，
∴||=
∴O到AB的距离等于                       …（10分）
即，
∴m=±1
∴直线l的方程为：x-y-1=0或x-y+1=0．…（14分）