Question

A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
D．证明不等式：+++L+＜2．

Answer

选A，根据切割线定理可知AD2=AE•AB，AB=4，EB=3，利用△ADE∽△ACO，可求CD的长．
选B，先写成旋转矩阵，再得出旋转前后坐标之间的关系，代入已知方程，即可得答案．
选C，两边同乘以ρ，利用公式可得直角坐标方程，进而可求点线距离的最值；
选D，将坐标的分母缩小，进而利用等比数列的求和公式，从而得证．
A．【解析】
根据切割线定理可知AD2=AE•AB，
∵AD=2，AE=1
∴AB=4，EB=3，
∵AB是圆的直径
∴DE⊥DB
∵DE⊥OC
∴DE∥OC
∴△ADE∽△ACO，
∴CD=3
B．设直线2x+y-1=0上任意一点（x，y）旋转变换后（x′，y′）
∵逆时针旋转45°
∴旋转矩阵为
∴=
∴
∴直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是
C．将极坐标方程转化成直角坐标方程：
ρ=3cosθ，两边同乘以ρ，即得：x2+y2=3x，
∴圆的方程为（x-）2+y2=，
又ρcosθ=1即x=1，
∴直线与圆相交
∴所求最大值为2，最小值为0．
D．证明：+++L+＜
=
=，
从而得证．