Question

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）设，试求的取值范围．

Answer

（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，所以（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，由sinA＞0，所以cosB=．由此能求出B的大小．
（2）因为，所以=3sinA+cos2A=-2（sinA-）2+，由，得
30°＜A＜90°，从而，由此能求出的取值范围．
【解析】
（1）因为（2a-c）cosB=bcosC，
所以（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，…（3分）
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA．
而sinA＞0，
所以cosB=…（6分）
故B=60°…（7分）
（2）因为，
所以=3sinA+cos2A…（8分）
=3sinA+1-2sin2A=-2（sinA-）2+…（10分）
由
得，
所以30°＜A＜90°，
从而…（12分）
故的取值范围是．…（14分）