Question

设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为PP′，根据这一规律解答下题：一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0，1，2，3，…，100，共101站，设棋子跳到第n站的概率为P_n，一枚棋子开始在第0站（即P=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或100站（失败）时，游戏结束．已知硬币出现正反面的概率都为．
（1）求P₁，P₂，P₃，并根据棋子跳到第n+1站的情况，试用P_n，P_n-1表示P_n+1；
（2）设a_n=P_n-P_n-1（1≤n≤100），求证：数列{a_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（3）求玩该游戏获胜的概率．

Answer

（1）根据题意，则P1即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故可求；P2即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，故可求；P3即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，故可求；Pn+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则可得结论；
（2）由（1）知：，可变形为，故可得{Pn-Pn-1}表示等比数列，进而可得{an}的通项公式；
（3）玩该游戏获胜，即求P99由（2）知，Pn-Pn-1=（2≤n≤100），利用叠加法可得
，令n=99，可得玩该游戏获胜的概率．
【解析】
（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为Pn，
则P1即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P1=，
P2即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则，
P3即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，则
故Pn+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则
（2）由（1）知：，
∴，
∴{Pn-Pn-1}表示等比数列，其公比为
又，
∴；
（3）玩该游戏获胜，即求P99
由（2）知，Pn-Pn-1=（2≤n≤100），
∴P2-P1=，
P3-P2=，…
Pn-Pn-1=（2≤n≤100），
∴Pn-P1=
∴Pn-P1=
∴
∴n=99时，．