Question

（理）设椭圆的两个焦点是F₁（-c，0）、F₂（c，0）（c＞0），且椭圆上存在点M，使．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若直线l：y=x+2与椭圆存在一个公共点E，使得|EF₁|+|EF₂|取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（3）是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与条件（Ⅱ）下的椭圆交于A、B两点，使得经过AB的中点Q及N（0，-1）的直线NQ满足？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由 可得|MF1|2+|MF2|2=4m，再结合基本不等式列不等关系，即可解得实数m的取值范围；
（2）将直线的方程与椭圆C的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据△≥0得m的取值范围，最后根据函数的值域求出|EF1|+|EF2|取得最小值及此时椭圆的方程即可；
（3）设两点设A（x1，y1）、B（x2，y2），中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+m，先将A，B两点的坐标代入椭圆方程，两式相减得Q（x，y）的轨迹方程，求得点Q的坐标，最后根据即可求出k的取值范围．
解（1）依题意：F1F2为直径的圆与椭圆有交点，
∴．
（2）将y=x+2代入x2+（m+1）y2-m-1=0中
得：（m+2）x2+4（m+1）x+3（m+1）=0，
∴△=16（m+1）2-12（m+2）（m+1）=4（m+1）（m-2）≥0，又m≥1，
∴m≥2．
∴m=2时取最小值．此时椭圆的方程为．
（3）设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+m，
代入椭圆的方程：x2+3y2-3=0中得：（3k2+1）x2+6kmx+3（m2-1）=0．
∴△=36k2m2+12（1-m2）（3k2+1）=12（3k2+1-m2）＞0，
即3k2+1-m2＞0①
且，．
即．
又，
∴，直线NQ的方程为．
∴，化简得：②
由①②得：k2＜1，
∴存在适合条件的直线l，其斜率k的取值范围是（-1，0）∪（0，1）．