Question

已知函数y=f（x）的反函数为y=f^-1（x），定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”．
（1）判断函数g（x）=（x+1）²+1，x∈[-2，-1]是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）若F（x）=kx+b，其中k≠0，x∈R满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得F（9）＜F（cos²θ+asinθ）＜F（1）对任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）函数g（x）=（x+1）2+1，x∈[-2，-1]的反函数是g-1（x）=--1，x∈[1，2]，所以g-1（x+1）=--1，x∈[0，1]，由此能够判断函数g（x）=（x+1）2+1，x∈[-2，-1]不满足“1和性质”．
（2）设函数F（x）=kx+b满足“2和性质”，k≠0．所以F-1（x）=，x∈R，F-1（x+2）=，而F（x+2）=k（x+2）+b，x∈R，得反函数y=．由此入手能导出当1＜a＜9使得F（cos2θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立．
【解析】
（1）函数g（x）=（x+1）2+1，x∈[-2，-1]的反函数是g-1（x）=--1，x∈[1，2]
∴g-1（x+1）=--1，x∈[0，1]
而g（x+1）=（x+2）2+1，x∈[-3，-2]
其反函数为y=-2-，x∈[1，2]，
故函数g（x）=（x+1）2+1，x∈[-2，-1]不满足“1和性质”；（6分）
（2）设函数F（x）=kx+b满足“2和性质”，k≠0．
∴F-1（x）=，x∈R，
F-1（x+2）=，
而F（x+2）=k（x+2）+b，x∈R，
得反函数y=
由“2和性质”定义可知=对x∈R恒成立，
∴k=-1，b∈R，
即函数F（x）=-x+b，x∈R，在（-∞，+∞）上递减，…（9分）
所以假设存在实数a满足F（9）＜F（cos2θ+asinθ）＜F（1），
即1＜cos2θ+asinθ＜9对任意的θ∈（0，π）恒成立，
它等价于在t∈（0，1]上恒成立．
t2-at+8＞0，t∈（0，1]⇔a＜t+，
易得a＜9．而t2-at＜0知a＞t所以a＞1．
综合以上有当1＜a＜9使得F（cos2θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立（13分）