Question

已知：点P为线段AB上的动点（与A，B两点不重合）．在同一平面内，把线段AP，BP分别折成△CDP，△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D，P，F三点共线，如图所示．
（1）若△CDP，△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长．
（2）若，且以C，D，P为顶点的三角形和以E，F，P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE的面积的最小值．

Answer

（1）不妨设DP=x，PF=y，由△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°，可求得PC，PE，由DF=2，可求AB的长；
（2）根据tan∠C=，且以C，D，P为顶点的三角形和以E，F，P为顶点的三角形相似，可分当∠DCP=∠FEP与当∠DCP=∠FPE两种情况讨论，利用勾股定理与不等式解决．
【解析】
（1）设DP=x，PF=y…（1分）
∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形，且∠CDP=∠EFP=90°，
∴CD=DP=x，EF=PF=y，PC=y．
∴AB=AP+PB=CD+DP+PC+PF+EF+PE=x+x+y=（2+）（x+y）．
∵DF=2，∴x+y=2…（3分）
∴AB=（2+）×2=4+2．…（5分）
（2）连接CE
由于tan∠C=，且以C，D，P为顶点的三角形和以E，F，P为顶点的三角形相似，因此分两种情况考虑：
当∠DCP=∠FEP时，设DP=4m，PF=4n，则CD=3m，EF=3n，
根据勾股定理，可得CP=5m，PE=5n，
∵AB=12（m+n）=12，∴m+n=1．…（7分）
∴S四边形CDFE=）=6（m+n）2=6…（9分）
当∠DCP=∠FPE时，设DP=4m，PF=3n，则CD=3m，EF=4n．
根据勾股定理，可得CP=5m，PE=5n．
∵AB=12（m+n）=12，∴m+n=1．
∵m＞0，n＞0，∴S四边形CDFE=）=）=]=）=6+mn＞6…（11分）
综上所述，四边形CDFE的面积的最小值为6…（12分）