Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，
设△EDQ的面积为y（cm²），求y与时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形．

Answer

（1）通过△AEP∽△ADC，列出比例关系，即可用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）Q在BD上运动x秒后，求出DQ、CP，即可表示y与时间x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（3）通过∠EQP=90°，∠QED=90°，分别通过三角形相似，列出比例关系，求出x的值，说明△EDQ为直角三角形．
【解析】
（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，
∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC，
∴即，∴，DE=5-…（3分）
（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，
当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2-1.25x，
则y=…（6分）
即y与x的函数解析式为：，其中自变量的取值范围是：0＜x＜1.6．
（3）分两种情况讨论：
①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC
∴，DQ=1.25x-2
即…解得x=2.5…（9分）

②当∠QED=90°时，

∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴，
Rt△EDQ斜边上的高：4-x，
Rt△CDA斜边上的高为：．

∴，
解得x=3.1．
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形．…（12分）