Question

已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）有极值，求实数a的取值范围和函数f（x）的值域；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数g（x）=x³-x-2，证明：∀x₁∈（l，e），∃x∈（l，e），使得g（x）=f（x₁）成立．

Answer

（Ⅰ）先求导数，再由函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，令求解．
（Ⅱ）f（x）有极值，则有解，由x∈（1，e）得到，再由求得a的范围．求值域时，先求极值，再由a的范围，确定端点值与极值的大小关系，从而确定值域．要注意讨论．
（Ⅲ）：证明∀x1∈（l，e），∃x∈（l，e），有g（x）=f（x1）成立，即证函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集．所以分别求得两个函数的值域，再盾集合的关系即可
【解析】
（Ⅰ）（1分）
∵函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，∴（2分）
∴（3分）
（Ⅱ）由，可得
∵x∈（1，e）
∴
∴（5分）
经检验时，f（x）有极值．
∴实数a的取值范围为．（6分）
列表

f（x）的极大值为（7分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得又∵（8分）
∴当时，函数f（x）的值域为（9分）
当时，函数f（x）的值域为．（10分）
（Ⅲ）证明：∵当x∈（1，e）时，g'（x）=3x2-1＞0，
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（11分）
∵g（1）=-2，g（e）=e3-e-2∴g（x）在（1，e）的值域为（-2，e3-e-2）（12分）
∵e3-e-2＞，-2＜ae+1，-2＜a
∴⊆（-2，e3-e-2），⊆（-2，e3-e-2）
∴∀x1∈（1，e），∃x∈（1，e），使得g（x）=f（x1）成立．（14分）