Question

已知：一窗户满足（单位m），一蜘蛛在窗户上布的蜘蛛网满足（t为常数，且0≤t≤1），图象围成的封闭图形如图3中阴影所示．
（1）当t变化时，求蜘蛛捕捉住一只苍蝇概率的最小值
（2）在（1）条件下若有4只苍蝇从窗户飞过，ξ表示蜘蛛捕捉到苍蝇数，求捕捉到苍蝇数分布列及数学期望．

Answer

（1）窗户的最大面积是S1max=e-1，蜘蛛网的面积S2=∫t（et-ex）dx+∫t1（ex-et）dx=（2t-3）•et+e+1，t=时，S2min=e-2+1．所以当t变化时，求蜘蛛捕捉住一只苍蝇概率的最小值p==．
（2）由题设知ξ～B（4，），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解析】
（1）∵一窗户满足（单位m），
∴窗户的最大面积是S1max=e-1，
∵一蜘蛛在窗户上布的蜘蛛网满足（t为常数，且0≤t≤1），
∴蜘蛛网的面积S2=∫t（et-ex）dx+∫t1（ex-et）dx
=[etx-ex]|t+[ex-etx]|t1
=et•t-et+1+e-et-et+ett
=2t•et-3et+e+1
=（2t-3）•et+e+1
∵S2′=2et+（2t-3）et，
∴由S2′=2et+（2t-3）et=0，得t=．
时，S2′=2et+（2t-3）et＜0，
当时，S2′=2et+（2t-3）et＞0，
∴t=时，S2min=e-2+1．
∴当t变化时，求蜘蛛捕捉住一只苍蝇概率的最小值
p==．
（2）由题设知ξ～B（4，），
∴ξ的分布列是P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，4．
Eξ=．