Question

已知椭圆的左焦点为F₁（-1，0），点F₁关于直线16x+12y-9=0对称点在椭圆上．
（I）求椭圆方程；
（II）点M（x，y）在圆x²+y²=b²上，M在第一象限，过M作圆x²+y²=b²的切线交椭圆于P、Q两点，问|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．

Answer

（I）由已知中椭圆的左焦点为F1（-1，0），可得c值，点F1关于直线16x+12y-9=0对称点在椭圆上可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2-|OM|2求出|PQ|，可得结论．
【解析】
（I）∵右焦点为F2（1，0）∴c=1
左焦点为F1（-1，0），点
在椭圆上
∴a=2，
所以椭圆方程为-------------------------------------（4分）
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∴--------------------------------------------------------．（7分）
连接OM，OP，由相切条件知：

∴---------------------------------------------------．（10分）
同理可求

所以|F2P|+|F2Q|+|PQ|=2+2=4为定值．-------------------------------------------（12分）