Question

已知f（x）=lnx，（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当n∈N^*，n≥2时，证明：．

Answer

（1）先求，求导函数，分类讨论即可求出函数的单调区间．
（2）x≥1时，恒成立，等价于a≥[xlnx-x2]max，构造新的函数k（x）=xlnx-x2造．求出函数的最大值即可求出a的取值范围．
（3）方法一：由（2）可知当a=-1时，x≥1时，恒成立所以n∈N*，n≥2时，有，进而可证．
方法二：利用数学归纳法证明．当n=2时，显然成立．假设n=k（n∈N*，n≥2）成立，即
那么当n=k+1时，下面只需证，（k+1）ln（k+1）＜k（k+2）即可得证．
【解析】
（1）
（1分）
当△=1+4a≤0，
即时，F′（x）≤0，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递减（2分）
当△=1+4a＞0，即时，
，
①时，
x1＞0，x2＞0，
单调增区间为（0，+∞）（3分）
②a＞0时，
x1＞0，x2＞0，
单调增区间为（x1，x2），
单调减区间为（0，x1），（x2，+∞）（5分）
综上：①时，F（x）在（0，+∞）上单调递减（只要写出以上三种情况即得5分）
②时，
x1≤0，x2＞0，
单调增区间为（0，x2），单调减区间为（x2，+∞）
③a＞0时，
x1＞0，x2＞0，
单调增区间为（x1，x2），，单调减区间为（0，x1），（x2，+∞）
（2）恒成立，
等价于a≥[xlnx-x2]max（6分）
k（x）=xlnx-x2，k′（x）=1+lnx-2x，

k′（x）在[1，+∞）上单调递减，
k′（x）≤k′（1）=-1＜0，
k（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以k（x）的最大值为k（1）=-1，所以a≥-1（18分）
（3）证法一：由（2）知当a=-1时，x≥1时，恒成立
所以n∈N*，n≥2时，有（10分）
所以，
，
相乘得（12分）
方法二：数学归纳法
①当n=2时，显然成立（9分）
②假设n=k（n∈N*，n≥2）成立，即
那么当n=k+1时，
下面只需证，（k+1）ln（k+1）＜k（k+2）
设t=k+1≥3，所以设k（t）=tlnt-t2+1
由（2）知当a=-1时，x≥1时，恒成立，
即k（t）=tlnt-t2++1＜0在t=k+1≥3恒成立，所以
综合（1）（2）命题成立（12分）