Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，．
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面SAD；
（Ⅱ）设SB的中点为M，当为何值时，能使DM⊥MC？请给出证明．

Answer

（Ⅰ）先由∠A=90°⇒AB⊥AD再利用SD⊥平面ABCD⇒SD⊥AB⇒AB⊥平面SAD⇒结论成立．
（Ⅱ）由题中条件可推得DM⊥SB．当时，又可利用其推得BC⊥平面SBD⇒DM⊥BC⇒DM⊥平面SBC⇒DM⊥MC．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵∠A=90°，
∴AB⊥AD．
又SD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴SD⊥AB．（2分）
∴AB⊥平面SAD．（4分）
又AB⊂平面SAB，
∴平面SAB⊥平面SAD（7分）
（Ⅱ）当时，能使DM⊥MC．（9分）
连接BD，∵∠A=90°，AB=AD=a
∴
又M为SB中点，
∴DM⊥SB①（8分）
设CD的中点为P，连接BP，则DP∥AB，且DP=AB
∴BP∥AD，
∴BP⊥CD∴BD=BC
又∠BDC=90°-∠BDA=45°
∴∠CBD=90°即BC⊥BD
又BC⊥SD∴BC⊥平面SBD
∴DM⊥BC②（12分）
由①②知DM⊥平面SBC
∴DM⊥MC
即当时，能使DM⊥MC．（14分）