Question

已知椭圆C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，M是C₁与C₂在第一象限的交点，且
（I）求椭圆C₁的方程；   
（Ⅱ）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C₁上，顶点B、D在直线7x-7y+1=0上，求直线AC的方程．

Answer

（I）设点M为（x1，y1），由F2是抛物线y2=4x的焦点，知F2（1，0）；|MF2|=，由抛物线定义知x1+1=，即x1=；由M是C1与C2的交点，y12=4x1，由此能求出椭圆C1的方程．
（II）直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，设直线AC的方程为x+y=m，由，得7x2-8mx+4m2-12=0．由点A、C在椭圆C1上，知（-8m）2-4×7×（4m2-12）＞0，由此能导出直线AC的方程．
【解析】
（I）设点M为（x1，y1），
∵F2是抛物线y2=4x的焦点，
∴F2（1，0）；
又|MF2|=，由抛物线定义知
x1+1=，即x1=；
由M是C1与C2的交点，
∴y12=4x1，即y1=±，这里取y1=；
又点M（，）在C1上，
∴+=1，且b2=a2-1，
∴9a4-37a2+4=0，∴（舍去），
∴a2=4，b2=3；
∴椭圆C1的方程为：
（II）∵直线BD的方程为：7x-7y+1=0，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
不妨设直线AC的方程为x+y=m，
则
∴消去y，得7x2-8mx+4m2-12=0；
∵点A、C在椭圆C1上，
∴（-8m）2-4×7×（4m2-12）＞0，即m2＜7，∴-＜m＜；
设A（x1，y1），C（x2，y2），
则x1+x2=，y1+y2=（-x1+m）+（-x2+m）=-（x1+x2）+2m=-+2m=，
∴AC的中点坐标为，
由菱形ABCD知，点也在直线BD：7x-7y+1=0上，
即7×-7×+1=0，∴m=-1，由m=-1∈知：
直线AC的方程为：x+y=-1，即x+y+1=0．