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已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,(a为常数,e为自然对数的底). (...

已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x,(a为常数,e为自然对数的底).
(Ⅰ)若函数f(x)在x=0时取得极小值,试确定a的取值范围;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设由f(x)的极大值构成的函数为g(x),试判断曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0、3x-2y+n=0(m,n为确定的常数)中的哪一条相切,并说明理由.
(I)求出导函数的两个根,就两根的大小分类讨论,在各类中判断根左右两边的导函数正负,据极值的定义求出极小值. (II)借助(I)求出极大值g(x),求出g(x)的导函数g′(x),据导数的几何意义,g′(x)的范围即为切线斜率的范围,再通过g′(x)的导数研究g′(x)的单调性,判断出g′(x)范围即切线斜率的范围. 【解析】 (Ⅰ)f'(x)=(2x+a)e-x-e-x(x2+ax+a)=e-x[-x2+(2-a)x]=e-x•(-x)•[x-(2-a)],令f'(x)=0, 得x=0或x=2-a, 当a=2时,f'(x)=-x2e-x≤0恒成立,此时f(x)单调递减; 当a<2时,f'(x)<0时,2-a>0, 若x<0,则f'(x)<0,若0<x<2-a,则f'(x)>0,x=0是函数f(x)的极小值点; 当a>2时,2-a<0,若x>0,则,若2-a<x<0,则f'(x)>0, 此时x=0是函数f(x)的极大值点, 综上所述,使函数f(x)在x=0时取得极小值的a的取值范围是a<2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知a<2,且当x>2-a时,f'(x)<0, 因此x=2-a是f(x)的极大值点,fmax(x)=f(2-a)=(4-a)ea-2, 于是g(x)=(4-x)ex-2(x<2) g'(x)=-ex-2+ex-2(4-x)=(3-x)ex-2,令h(x)=(3-x)ex-2(x<2), 则h'(x)=(2-x)ex-2>0恒成立, 即h(x)在(-∞,2)是增函数, 所以当x<2时,h(x)<h(2)=(3-2)e2-2=1,即恒有g'(x)<1, 又直线2x-3y+m=0的斜率为,直线3x-2y+n=0的斜率为, 所以由导数的几何意义知曲线g(x)只可能与直线2x-3y+m=0相切.
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考点分析:
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试题属性
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