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如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的⊙O交AC于D,过点D作⊙O的切...

如图,在△ABC中,∠B=90°,以AB为直径的⊙O交AC于D,过点D作⊙O的切线交BC于E,AE交⊙O于点F.
(1)证明:E是BC的中点;
(2)证明:AD•AC=AE•AF.

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(1)欲证明E是BC的中点,即证EB=EC,即要证ED=EC,这个可通过证明∠CDE=∠C得到; (2)因由相似三角形可得:AB2=AE•AF,AB2=AD•AC,故欲证AD•AC=AE•AF,只要由AB=AB得到即可. 证明:(Ⅰ)证明:连接BD, 因为AB为⊙O的直径, 所以BD⊥AC,又∠B=90°, 所以CB切⊙O于点B,且ED切于⊙O于点E, 因此EB=ED,∠EBD=∠EDB,∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C, 所以∠CDE=∠C, 得ED=EC,因此EB=EC,即E是BC的中点 (Ⅱ)证明:连接BF,显然BF是Rt△ABE斜边上的高, 可得△ABE∽△AAFB, 于是有,即AB2=AE•AF, 同理可得AB2=AD•AC,所以AD•AC=AE•AF
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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