Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为抛物线上异于原点O的任意一点，过A作直线垂直y轴于B，OB的中点为M，则直线AM一定经过△ABF的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心

Answer

根据题意作出图形，如图，设AB与准线交于点H，AB与x轴交于点C，利用三角形全等得出AB=CO，∠BAM=∠OCM，再根据抛物线的定义得：AF=AH，从而得到∠CAF=∠OCM，∠CAF=∠BAM，即AM是△ABF的内角平分线，最后得出直线AM一定经过△ABF的内心．
【解析】
如图，设AB与准线交于点H，AB与x轴交于点C，
由于M是BO的中点，得Rt△ABM≌Rt△COM，
∴AB=CO，∠BAM=∠OCM，
根据抛物线的定义得：AF=AH，而AH=AB+BH=CO+BH，
其中BH=OF=，
∴AH=CO+OF=CF，
∴AF=CF，⇒∠CAF=∠OCM，
∴∠CAF=∠BAM，即AM是△ABF的内角平分线，
则直线AM一定经过△ABF的内心．
故选C．