Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M、N分别是棱BB₁，DD₁的中点．
①求异面直线A₁M与B₁C所成的角的余弦值；
②若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V，三棱锥N-A₁B₁C₁的体积为V₁，求的值．
③求平面A₁MC₁与平面B₁NC₁所成的二面角的大小．

Answer

①先将B1C平移到A1D，根据异面直线所成角的定义可知∠MA1D是异面直线A1M与B1C所成的角（或补角），然后利用余弦定理求出此角的余弦值即可；
②先利用正棱柱的体积公式求出正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，然后利用三棱锥的体积公式求出三棱锥N-A1B1C1的体积，即可求出所求；
③取AA1中点P，连接B1P、NP、MP，则四边形B1MPA1为正方形，根据A1M⊥B1P，A1M⊥B1C1，满足线面垂直的判定定理可知A1M⊥平面B1NC1，而A1M⊂平面A1MC1，满足面面垂直的判定定理可知平面A1MC1⊥平面B1NC，从而求出平面A1MC1与平面B1NC1所成二面角大小．
【解析】
①∵A1D∥B1C
∴∠MA1D是异面直线A1M与B1C所成的角（或补角）
，

=
=
所以异面直线A1M与B1C所成的角余弦值为
②V=2a3，
，

③取AA1中点P，连接B1P、NP、MP，则四边形B1MPA1为正方形．
∵A1M⊥B1P，且B1C1⊥平面A1B1BA，
∴B1C1⊥A1M，即A1M⊥B1C1，
∴A1M⊥平面B1PNC1
即A1M⊥平面B1NC1，
∵A1M⊂平面A1MC1，
所以，平面A1MC1⊥平面B1NC．
故平面A1MC1与平面B1NC1所成二面角大小为90°．