Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为F（1，0），直线l经过点F且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P是椭圆上的一个动点，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；
（3）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点S，使为常数，若存在，求出定点S的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由椭圆的右焦点为F（1，0），可求c值，再根据离心率为，可求出a的值，由a，b，c的关系得到b，则椭圆的方程就能求出．
（2）把|PO|2+|PF|2用P点坐标表示，再根据P点在椭圆上，横纵坐标有范围，就可得到|PO|2+|PF|2的最大值和最小值．
（3）因为直线l绕点F转动，可设出直线l的点斜式方程，与椭圆方程联立，设S点坐标，代入计算，若计算结果为常数，则存在，否则，不存在．
【解析】
（1），所以椭圆方程
（2）设，
即2y2=2-x2，F（1，0）|PO|2+|PF|2=x2+y2+（x-1）2+y2=2y2+x2+（x-1）2=（x-1）2+2
而2y2=2-x2≥0，∴
当x=1时，（|PO|2+|PF|2）min=2，当时，
（3）①若直线l斜率存在时，设l方程为y=k（x-1）
由消去y得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
设S（t，0）、A（x1，y1）、B（x2，y2）

=（λ为常数）
即2（k2+1）（k2-1）-4k2（t+k2）+（1+2k2）（t2+k2）=λ（1+2k2）（2t2-4t-2λ+1）k2+t2-λ-2=0
由，解得
②若斜率κ不存在时，、S（t，0）=
综上得，存在，使．