Question

已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x使得对任意实数x₁，x₂，总有f（xx₁+xx₂）=f（x）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x的值；
（2）若f（x）=1，且对任意的正整数n．有，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较与T_n的大小关系，并给出证明．

Answer

（1）由题意对于任意实数x1，x2等式恒成立，故可采用赋值法求解；
（2）先证明{f（n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，由此得 ，从而可求Sn，再证{bn}是等比数列从而可求Tn，代入与Tn作差，利用二项式定理展开，进行放缩，即可求得结果．
【解析】
（1）令x1=x2=0，得f（0）=f（x）+2f（0），∴f（x）=-f（0）．①
令x1=1，x2=0，得f（x）=f（x）+f（1）+f（0），∴f（1）=-f（0）．②
由①②得   f（x）=f（1）．∴f（x）为单调函数，
∴x=1．
（2）由（1）得f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+f（1）=f（x1）+f（x2）+1．
∵f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（1）=1，∴f（n）=2n-1．（n∈Z*）
∴．
又∵
∴．
又，
∴．
∴．
∴
=

=．
∴．
∵4n=（3+1）n=Cnn3n+Cnn-13n-1+…+Cn13+Cn≥3n+1＞2n+1，
∴．
∴．