Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，设m，n，p，k都是正整数．
（1）求证：若m+n=2p，则a_m+a_n=2a_p，b_mb_n=（b_p）²；
（2）若a_n=3n+1，是否存在m，k，使得a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（3）求使命题P：“若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m，都存在k，有b_mb_m+1=b_k”成立的充要条件．

Answer

（1）根据等差数列、等比数列的通项公式即可证得；
（2）由am+am+1=ak，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k-2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．
（3）“若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0）对任意m，都存在k，有bmbm+1=bk”成立，取m=1，可得a=qc，其中c是大于等于-2的整数，再说明反之也成立，从而得结论．
【解析】
（1）∵{an}是公差为d的等差数列，
∴am=a1+（m-1）d，an=a1+（n-1）d，am+an=2a1+（m+n-2）d，
又m+n=2p，∴am+an=2a1+2（p-1）d，
∵a1+（p-1）d=ap，∴am+an=2ap． …（3分）
∵{bn}是公比为q的等比数列，
∴bm=b1qm-1，bn=b1qn-1，bmbn=b12qm+n-2，
∵m+n=2p，
∴bmbn=b12q2p-2=b1qp-1•b1qp-1=bp•bp=bp2． …（6分）
（2）假设存在m，k，使得am+am+1=ak，由am+am+1=ak得6m+5=3k+1，
即
Qm、k∈N*，∴k-2m为整数，矛盾．∴不存在m、k∈N+，使等式成立．（10分）
（3）“若bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0）对任意m，都存在k，有bmbm+1=bk”成立，取m=1，
得b1b2=bk，∴a2q3=aqk，∴a=qk-3，即a=qc，其中c是大于等于-2的整数．（13分）
反之，当a=qc（c是大于等于-2的整数）时，有bn=qn+c，
显然bm⋅bm+1=qm+c⋅qm+1+c=q2m+1+2c=bk，其中k=2m+1+c．
∴所求的充要条件是a=qc，其中c是大于等于-2的整数．…（16分）