Question

已知函数
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=0时，求函数f（x）的定义域，求出函数的导数，利用导数大于0，即可得到单调递增区间；
（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，就出a的不等式，构造函数求出导数，得到函数的最小值，即可求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，构造函数，通过导数对a进行讨论，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．
【解析】
显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）当a=0时，，；
由f'（x）＞0，结合定义域解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）．
（2）将f（x）＜（x+1）lnx化简得，∵x∈[1，3]∴有
令，则，由g′（x）=0解得x=e．
当1≤x＜e时，g′（x）＞0；当e＜x≤3时，g′（x）＜0
故
∴∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等价于a＜
即a的取值范围为
（3）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵
①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得a的范围是[，]．
综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．