Question

如图，一棱长为2的正四面体O-ABC的顶点O在平面α内，底面ABC平行于平面α，平面OBC与平面α的交线为l．
（1）当平面OBC绕l顺时针旋转与平面α第一次重合时，求平面OBC转过角的正弦
值．
（2）在上述旋转过程中，△OBC在平面α上的投影为等腰△OB₁C₁（如图1），B₁C₁的中点为O₁．当AO⊥平面α时，问在线段OA上是否存在一点P，使O₁P⊥OBC？请说明理由．

Answer

（1）要求平面OBC转过角，即求平面OBC与平面α所成的角度，可转化为求平面ABC与平面COB所成的角；在四面体中，取BC中点为E，连接AE，EO，则BC⊥AE，BC⊥EO，∠AEO即为所求的转动角；根据AE=EO=，AO=2，即可求出∠AEO
（2）法一：设A在平面OBC上射影为G，若O1P⊥平面OBC，则O1P∥AG，设O1P交OE于H，则由OH：OO1=OO1：OE，可求得OH=OG
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
法二：以O1为原点，分别以O1C1、O1O、O1E所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设
则由可求z，H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
【解析】
（1）∵平面ABC∥平面α
平面ABC∩平面COB=BC
取BC中点为E，连接AE，EO，则BC⊥AE，BC⊥EO．
故∠AEO即为所求的转动角
在正四面体中，AE=EO=，AO=2，
所以：COS∠AEO==．
∴sin∠EOF=．
故所求转过角的正弦值为
（2）解法一：在Rt△OBB1中，OB=2BB1，
故BB1=O1E=1，，．设A在平面OBC上射影为G，
若O1P⊥平面OBC，则O1P∥AG，
设O1P交OE于H，OH：OO1=OO1：OE，
得，又，
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．
解法二：以O1为原点，分别以O1C1、O1O、O1E所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，C（1，0，1），B（-1，0，1），，
设
则，，
得z=2．…（13分）
故H与G重合时，O1P⊥平面OBC．