Question

如图，椭圆=1的两焦点F₁，F₂与短轴两端点B₁，B₂构成∠B₂F₁B₁为120°，面积为的菱形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆相交于M，N两点（M，N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过椭圆右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（Ⅰ）由已知∠B2F1B1为=120°，及菱形F1B1F2B2的面积可得，从而可求b，c，再由a=可求，可求椭圆方程
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由 整理，结合方程的根与系数的关系可得，x1+x2=，x1•x2=，且△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，而以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A可得即x1x2+y1y2=0，代入可得m，k之间的关系，代入直线方程可知直线所过的定点
【解析】
（Ⅰ）∵∠B2F1B1为=120°
∴∠B1F1O=60°

∵菱形F1B1F2B2的面积
bc=
即   
∴，
由a==2
故椭圆方程为．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由 得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，
则x1+x2=，x1•x2=，
且△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，即3+4k2-m2＞0
∵以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A
∴AM⊥AN即
∴x1x2+y1y2=0，即y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，
又y1y2=（kx1+m）•（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=，
∴+++4=0，
化简得，7m2+4k2+16mk=0
解得m=-2k或m=-且均满足3+4k2-m2＞0
当m=-2k时，L：y=k（x-2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；
当m=-时，L；y=k（x-），直线过定点
综上，直线l过定点，定点坐标为（）