Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ABB₁⊥BC，且A₁C与底面成45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为（ ）

A．
B．
C．4
D．3

Answer

过A1作A1H⊥AB，垂足为H，连接HC，可以证出A1H⊥面ABC，A1H为三棱柱的高，∠A1HC为 A1C与底面成角，∠A1HC=45°，A1H为三棱柱的高与CH相等，而当CH⊥AB，即CH与CB重合时取得最小．
【解析】
过A1作A1H⊥AB，垂足为H，连接HC，
∵侧面A1ABB1⊥BC，A1H⊂面A1ABB1，∴BC⊥A1H，
∵AB∩BC=B，∴A1H⊥面ABC，
A1H为三棱柱的高．HC为A1C在底面上的射影，
∠A1HC为 A1C与底面成角，∠A1HC=45°，
∴△A1HC 为等腰直角三角形，A1H=CH，
当CH最小时，三棱柱的高最小，从而该棱柱体积最小．
而当CH⊥AB，即CH与CB重合时，取得最小值2
此时V=S△ABC×A1H=×AB×BC×A1H=×2×2×2=4
故选C．