Question

一个均匀的正四面体的四个面上分别写有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体下底面上的数字分别为x₁、x₂，设O为坐标原点，点P的坐标为（x₁-3，x₂-3），记．
（Ⅰ）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及数学期望．

Answer

（Ⅰ）掷出点数x可以是：1、2、3、4，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2．则（x-3）2的所有取值分别为：0、1、4．因此ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．由此能够求出ξ取得最大值和最小值时的概率．
（Ⅱ）由ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．且；；；；．能求出ξ的分布列ξ的期望．
【解析】
（Ⅰ）掷出点数x可以是：1、2、3、4，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2．
则x-（3分）别得：-2、-1、0、1，
于是（x-3）2的所有取值分别为：0、1、4．
因此ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．
当x1=x2=1时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最大值8，

当x1=x2=3时，ξ=（x1-3）2+（x2-3）2可取得最小值0，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ξ的所有取值为：0、1、2、4、5、8．
且
；；
；
；
．
所以ξ的分布列为：

ξ 1 2 4 5 8
P

即ξ的期望．