Question

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．
（1）求证：PA⊥平面ABCDE；
（2）求二面角A-PD-E的大小；
（3）求点C到平面PDE的距离．

Answer

（1）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，利用题目提供的线段的长度关系由勾股定理即可得到线线垂直关系．
（2）要求二面角A-PD-E的大小先利用二面角的平面角的定义在两个半平面内分别作棱的垂线，得到其平面角，然后通过解三角形解得其平面角的大小．
（3）先利用线面平行将点到平面的距离转化为线面之间的距离，然后探讨该直线上另一点到平面的距离，利用线面垂直，面面垂直的性质得到点到平面的距离，要求学生能灵活应用平行，垂直的关系．
（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2a，
∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，即PA⊥AB．
同理PA⊥AE．
∵AB∩AE=A，
∴PA⊥平面ABCDE．

（2）∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．
∴ED⊥平面PAE．过A作AG⊥PE于G，
∴DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．
过G作GH⊥PD于H，连AH，
由三垂线定理得AH⊥PD．
∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．
在直角△PAE中，AG=a．在直角△PAD中，AH=a，
∴在直角△AHG中，sin∠AHG==．
∴∠AHG=arcsin．
∴二面角A-PD-E的大小为arcsin．
（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，
取AE中点F，连CF，
∵AF∥=BC，
∴四边形ABCF为平行四边形．
∴CF∥AB，而AB∥DE，
∴CF∥DE，而DE⊂平面PDE，CF⊄平面PDE，
∴CF∥平面PDE．
∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．
∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．
又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．
∴平面PAE⊥平面PDE．
∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．
∴FG的长即F点到平面PDE的距离．
在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，
∴FG=a．
∴点C到平面PDE的距离为a．