Question

如图，设抛物线c₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=的椭圆c₂与抛物线c₁在x轴上方的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆c₂的右焦点F₂，与抛物线c₁交于A₁、A₂，如果以线段A₁A₂为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．

Answer

由题设条件设椭圆方程为．
（1）当m=1时，故椭圆方程为．
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，联立得点P的坐标为．再由韦达定理可知点P可在圆内，圆上或圆外．
（3）假设存在满足条件的实数m，由解得：．，，又．由此可知当m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．
【解析】
∵c1：y2=4mx的右焦点F2（m，0）
∴椭圆的半焦距c=m，又，
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长．
椭圆方程为．
（1）当m=1时，故椭圆方程为，（3分）
（2）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
联立得点P的坐标为．
将x=ky+1代入y2=4x得y2-4ky-4=0．
设A1（x1，y1）、A2（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=4k，y1y2=-4．
又，．

=
=．
∵k∈R，于是的值可能小于零，等于零，大于零．
即点P可在圆内，圆上或圆外．（8分）
（3）假设存在满足条件的实数m，
由解得：．
∴，，又．
即△PF1F2的边长分别是、、．
∴m=3时，能使△PF1F2的边长是连续的自然数．（14分）