Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），若数列{a_n+1+λa_n}是等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：当k为奇数时，；
（Ⅲ）求证：（n∈N*）

Answer

（I）根据数列{an+1+λan}是等比数列，建立等式关系，化简整理得得λ=2或λ=-3，当λ=2时，得an+1+2an=15•3n-1①，当λ=-3时，得an+1-3an=-10（-2）n-1②，①-②可求出an；
（II）当k为奇数时，作差变形得＜0，从而得到结论；
（III）由（Ⅱ）知k为奇数时，，讨论n的奇偶，分别进行证明即可．
【解析】
（Ⅰ）∵数列{an+1+λan}是等比数列
∴应为常数
∴得λ=2或λ=-3
当λ=2时，可得{an+1+2an}为首项是a2+2a1=15，公比为3的等比数列，
则an+1+2an=15•3n-1①
当λ=-3时，{an+1-3an}为首项是a2-3a1=-10，公比为-2的等比数列，
∴an+1-3an=-10（-2）n-1②
①-②得，an=3n-（-2）n
（Ⅱ）当k为奇数时，=
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时，
①当n为偶数时，
②当n为奇数时，．