Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D、E分别是BC、A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：BE∥平面A₁DC₁；
（Ⅱ）若AB=BC=AA₁=1，∠ABC=90°．
求二面角B₁-BC₁-E的正切值．

Answer

（Ⅰ）取A1C1的中点F，连接EF，DF，根据中位线定理可知EF∥B1C1且，而EF∥BD，且EF=BD，则四边形EFDB是平行四边形，从而BE∥DF，DF⊂平面A1DC1，BE⊄平面A1DC1，满足线面平行的判定定理所需条件，从而证得BE∥平面A1DC1；
（Ⅱ）连接B1C交BC1于O点，连接EO，EB1⊥B1C1，BB1⊥EB1，B1C1∩BB1=B1，根据线面垂直的判定定理可知EB1⊥平面BC1B1，根据二面角平面角的定义可知∠EOB1是二面角B1-BC1-E的平面角，在直角△EOB1中，求出此角的正切值即为所求．
（Ⅰ）证明：取A1C1的中点F，连接EF，DF，…（1分）
∵E是A1B1的中点，∴EF∥B1C1且
又∵四边形BCB1C1是矩形，D是BC的中点，∴EF∥BD，且EF=BD
∴四边形EFDB是平行四边形，∴BE∥DF…（4分）
∵DF⊂平面A1DC1，BE⊄平面A1DC1
∴BE∥平面A1DC1…（6分）
（Ⅱ）【解析】
连接B1C交BC1于O点，连接EO…（7分）
∵∠ABC=90°，
∴∠A1B1C1=90，即 EB1⊥B1C1．
又∵BB1⊥EB1，B1C1∩BB1=B1，∴EB1⊥平面BC1B1，…（9分）
∵BC=AA1=1，∴BC=BB1=1，且四边形BCB1C1是正方形，
∴B1O⊥BC1，…（10分）
∵EB1⊥平面B1C1B，∴B1O为EO在平面BCB1上的射影，
∵B1O⊥BC1∴EO⊥BC1，∴∠EOB1是二面角B1-BC1-E的平面角…（11分）
在直角△EOB1中，，，
∴，…（13分）
∴二面角B1-BC1-E的正切值．…（14分）