Question

已知函数f（x）=x²（x+a）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer

（I）由已知中函数f（x）=x2（x+a），令a=1，我们可以以求出函数的解析式，进而求出其导函数的解析式，进而分析出函数的单调性，最后求出f（x）的极值；
（Ⅱ）根据已知中函数f（x）=x2（x+a），我们求出导函数的解析式，由a≠0可知我们要分a＞0和a＜0两种情况进行分类讨论，分别确定出导函数的符号，进而判断出f（x）的单调区间．
【解析】
f（x）=x2（x+1）=x3+x2f'（x）=3x2+2x…（1分）
令3x2+2x=0则…（2分）

x （0，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

…（4分）∴当时，…（5分）
当x=0时，f（x）极小值=f（0）=0…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x3+ax2∴f'（x）=3x2+2ax=x（3x+2a）…（7分）
①当a＜0时，
令f'（x）=3x2+2ax＞0得x＜0或…（8分）
令f'（x）=3x2+2ax＜0得…（9分）∴f（x）的单调增区间为（-∞，0），，单调减区间为．…（10分）
②当a＞0时，
令f'（x）=3x2+2ax＞0得或x＞0…（11分）
令f'（x）=3x2+2ax＜0得…（12分）∴f（x）的单调增区间为，（0，+∞）．单调减区间为．…（13分）
综上可知，当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，0），，单调减区间为；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为，（0，+∞），单调减区间为．