Question

如图，四边形ABCD的顶点都在椭圆上，对角线AC、BD互相垂直且平分于原点O．
（I）若点A在第一象限，直线AB的斜率为1，求直线AB的方程；
（II）求四边形ABCD面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+b．因为四边形ABCD的顶点都在椭圆上，所以，△=16b2-12（2b2-6）=8（9-b2）＞0，再由韦达定理结合题设条件能求出直线AB的方程．
（II）①若直线AB⊥x轴，设其方程为x=x，此时易知直线AC、BD的方程分别为y=x，y=-x，且四边形ABCD是正方形，由此能求出四边形ABCD的面积S=（2x）2=4x2=8．
②若直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），，所以（2k2+1）x2+4kmx+2m2-6=0，由此能够推导出Smin=8．综上所述，四边形ABCD面积的最小值为8．
（Ⅰ）【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为y=x+b…（1分）
∵四边形ABCD的顶点都在椭圆上
∴，
∴x2+2（x+b）2=6，
即3x2+4bx+2b2-6=0
则△=16b2-12（2b2-6）=8（9-b2）＞0…（2分）
，…（3分）
∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=x1x2+b（x1+x2）+b2=，
又OA⊥OB，所以…（4分）
∴
∴b2=4，b=±2…（5分）
∵A点在第一象限，
∴b=-2．
所以直线AB的方程为y=x-2…（6分）
（II）①若直线AB⊥x轴，设其方程为x=x，
此时易知直线AC、BD的方程分别为y=x，y=-x，
且四边形ABCD是正方形，
则A（x，x），B（x，-x），，x2=2，
四边形ABCD的面积S=（2x）2=4x2=8…（8分）
②若直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
，
∴x2+2（kx+m）2=6，
即（2k2+1）x2+4kmx+2m2-6=0…（9分）
则△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-6）
=8[2k2m2-（2k2m2+m2-6k2-3）]
=8（6k2+3-m2）＞0，
，…（10分）
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
又OA⊥OB，所以
∴m2=2k2+2…（11分）
所以
=
直角三角形OAB斜边AB上的高
所以
=≥2，…（13分）
当且仅当k=0时取得此最小值，此时Smin=8…（14分）
综上所述，四边形ABCD面积的最小值为8．