Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 当a₂=-1时，求实数λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）根据a1=2，a2=-1，而a2=（λ-3）a1+2，解之即可求出λ，根据an+1=（λ-3）an+2n可求出a3的值；
（Ⅱ）根据首项a1，与递推关系an+1=（λ-3）an+2n求出a2，a3，若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2可得关于λ的方程即可判定是否存在实数λ；
（Ⅲ）根据an+1=（λ-3）an+2n，a1=2，若λ=3，则an=2n-1（n≥2），若λ≠3，则an=（λ-3）an-1+2n-1=（λ-3）n-1•2+（λ-3）n-2•2+（λ-3）n-3•22+…+（λ-3）•2n-2+2n-1（n≥2）等式右边是从第二项起，是一个首项为2（λ-3）n-2，公比为的等比数列，如果=1，即λ=5时，求出an，如果≠1，即λ≠5时，利用等比数列求和公式进行求解即可．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=2，a2=-1，a2=（λ-3）a1+2，
∴λ=，故a3=-，
所以a3=．…（3分）
（Ⅱ）∵a1=2，an+1=（λ-3）an+2n
∴a2=（λ-3）a1+2=2λ-4…（4分）
a3=（λ-3）a2+4=2λ2-10λ+16…（5分）
若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2∴λ2-7λ+13=0…（6分）
∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，…（7分）
故不存在实数λ，使得数列{an}为等差数列．…（8分）
（Ⅲ）∵an+1=（λ-3）an+2n，a1=2
若λ=3，则an=2n-1（n≥2）；                       …（9分）
若λ≠3，∴an=（λ-3）an-1+2n-1
=（λ-3）[（λ-3）an-2+2n-2]+2n-1
=（λ-3）{（λ-3）[（λ-3）an-3+2n-3]+2n-2}+2n-1
…
=（λ-3）n-1a1+（λ-3）n-2•2+（λ-3）n-3•22+…+（λ-3）•2n-2+2n-1
=（λ-3）n-1•2+（λ-3）n-2•2+（λ-3）n-3•22+…+（λ-3）•2n-2+2n-1
（n≥2）…（11分）
则数列（λ-3）n-1•2，（λ-3）n-2•2，（λ-3）n-3•22，…，（λ-3）•2n-2，2n-1
从第二项起，是一个首项为2（λ-3）n-2，公比为的等比数列．
如果=1，即λ=5时，an=2（5-3）n-1+（n-1）（5-3）n-2•2=2n+（n-1）2n-1=（n+1）•2n-1；
当n=1时也成立．
如果≠1，即λ≠5时，
=
=
当n=1时也成立．
故数列{an}的通项公式为：当λ=3时，an=；
当λ=5时，an=（n+1）•2n-1；
当λ≠5且λ≠3时，an=．…（14分）
说明：其他正确解法按相应步骤给分．