Question

抛物线x²=ay（a＞0）的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据抛物线的方程，找出p的值，进而得到其准线方程和P的坐标，根据直线l过P点，设出直线l的斜率为k时与抛物线相切，表示出此时直线l的方程，与抛物线联立，消去y得到关于x的一元二次方程，令根的判别式等于0列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，从而确定出直线l的倾斜角，用求出的倾斜角除以角速度即可求出此时所用的时间t．
【解析】
根据抛物线的方程x2=ay，得到p=，
所以此抛物线的准线方程为y=-，P坐标为（0，-），
令恒过P点的直线y=kx-与抛物线相切，
联立直线与抛物线得 ，
消去y得：-kx+=0，得到△=k2-1=0，即k2=1，
解得：k=1或k=-1，
由直线l绕点P逆时针旋转，k=-1不合题意，舍去，
则k=1，此时直线的倾斜角为 ，又P的角速度为每秒 弧度，
所以直线l恰与抛物线第一次相切，则t==3．
故选C．