Question

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（Ⅱ）设甲答对题目的个数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer

（I）由于闯关游戏规则规定甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功，所以可以设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，利用对立事件的定义求出甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（II）由于甲答对题目的个数为X，由题意则X的可能取值是1，2，利用随机变量的定义及分布列定义即可求出期望值．
【解析】
（Ⅰ）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，
则，
，
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是．

（Ⅱ）因为甲能答对4道题，所以无论怎么选3道题甲至少答对1道题．
        所以ξ=1，2，3
        P（ξ=1）=（2C2*4C1）/6C3=4/20
        P（ξ=2）=（2C1*4C2）/6C3=12/20
        P（ξ=3）=（2C0*4C3）/6C3=4/20
        Eξ=1*（4/20）+2*（12/20）+3*（4/20）=2
由题知X的可能取值是1，2．
，
则X的分布列为

X 1 2
P

∴．