Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₂C₃D₄中，侧棱AA₁=2，底面ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=60°，P为侧棱BB₁上的动点．
（1）求证：D₁P⊥AC；
（2）当二面角D₁-AC-P的大小为120°，求BP的长；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥P-ACD₁的体积．

Answer

（1）应通过证明AC⊥平面BB1D1D得出D1P⊥AC；
 （2）易知∠D1OP是二面角D1-AC-P的平面角，设BP=x（0≤x≤2），在△D1OP中，由余弦定理建立关于x的方程求解计算即可．
（3）在（1）的基础上，考虑将三棱锥P-ACD1分割成A-OPD1与C-OPD1，转化求解．
另可以设上、下底面菱形对角线交点分别为O1，O，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法解决（1），（2）．
解法一：（1）连接BD，则AC⊥BD，

∵D1D⊥底面ABCD，∴AC⊥D1D …（2分）
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵D1P⊂平面BB1D1D，∴D1P⊥AC．…（4分）
（2）设AC∩BD=O，
连接D1O，OP，
∵D1A=D1C，∴D1O⊥AC，同理PO⊥AC，
∴∠D1OP是二面角D1-AC-P的平面角．…（6分）
∴∠D1OP=120°．
设BP=x（0≤x≤2），
∵AB=2，∠ABC=60°，则BO=DO=，
∴PO=，D1O==．
在RT△D1B1P1中，D1P=．
在△D1OP中，由余弦定理D1P2=D1O2+PO2-2D1O•PO•cos120°得
12+（2-x）2=7+3+x2+2，
即6-4x=
整理得3x2-16x+5=，解得x=，或x=5（舍）．∴BP=，．…（9分）
（3）∵BP=，，∴PO==，
∴S△POD1=•PO•OD1•sin120°=•=．   
∵AC⊥平面OPD1，
∴VP-ACD1的=VP-OCD1 +VP-OAD1=V A-OPD1+V C-OPD1
=S△POD1•AC=•=•2=．
解法二：设上、下底面菱形对角线交点分别为O1，O，
则AC⊥BD，OO1⊥平面ABCD．
如图，以OD、OC、OO1所在直线为xyz轴，建立空间直角坐标系．…（1分）
（1）A（1，-1，0），C（0，1，0），D1（，0，2），B（-，0，0）
设P（-，0，x）（0≤x≤2）则=（0，2，0），=（-2，0，x-2），则•=0
∴⊥=0即AC⊥D1P．…（5分）
（2）=（，0，2），=（-，0，x），
•=0，•=0．
⊥，⊥
∴＜，＞就是二面角D1-AC-P的平面角，…（7分）
cos∠D1OP===-．
解得x=，或x=5（舍）．
∴BP=，…（9分）
（3）同解法一．