Question

给出下列四个命题：
①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a、b不相交”．②“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”．③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”．④设α⊥β，a⊄β，则“a∥β”的充分非必要条件是“a⊥α”．其中正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．②③
C．②④
D．②③④

Answer

逐个分析：对于①根据异面直线的定义，得到是必要非充分条件，故①不正确；
对于②可由直线与平面垂直的定义得知它是真命题；
对于③可以根据三垂线定理来说明它是既不充分也不必要条件，故③不正确；
对于④，可以由直线与平面平行、垂直的相关定理和面面垂直的性质，推出充分非必要条件成立．
对于①，若“直线a、b为异面直线”必定有“直线a、b不相交”，
反过来，若“直线a、b不相交”则“直线a、b为异面直线或平行直线”，
因此应该是必要非充分条件，故①不正确；
对应②，线面垂直的定义：如果一条直线垂直于一个平面内的所有直线，
就称这条直线与这个平面垂直．
根据这个定义可得“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”，故②正确；
对于③，若“a垂直于b在平面α内的射影”不一定推出“直线a⊥b”，因为a不一定在平面α内，
反之，若“直线a⊥b，且a在平面α内”则必有“a垂直于b在平面α内的射影”，但a仍然不一定在平面α内，
说明是既不充分也不必要条件，故③不正确；
对于④，若“a⊥α”结合大前提“β⊥α”，说明“a∥β或a⊆β”成立，
而题意中有“a⊄β”，说明只有“a∥β”，由此得充分性成立．
反之，若“α⊥β，a⊄β”且“a∥β”有可能a平行于α、β的交线，不能得到“a⊥α”，没有必要性
说明“a∥β”的充分非必要条件是“a⊥α”成立，故④正确．
故选C