Question

已知a＞0，函数f（x）=ln（2-x）+ax．
（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer

（1）求出函数的导函数，求出f′（1）即切线的斜率，求出f（1），利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径流程方程求出a的值．
（2）令f′（x）＞0求出x的范围写出区间形式即为单调递增区间；令f′（x）＜0求出x的范围写出区间形式即为单调递减区间．
（3）由（2），求出函数的极值及区间的端点值，比较极值与端点值选出最值．
【解析】
（1）依题意有x＜2，（1分）
过点（1，f（1））的直线斜率为a-1，所以过（1，a）点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）（2分）
又已知圆的圆心为（-1，0），半径为1
∴，解得a=1（3分）
（2）
当a＞0时，（5分）
令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得
所以f（x）的增区间为，减区间是（7分）
（3）当，即时，f（x）在[0，1]上是减函数所以f（x）的最小值为f（1）=a（9分）
当即时f（x）在上是增函数，在是减函数所以需要比较f（0）=ln2和
f（1）=a两个值的大小（11分）
因为，所以
∴当时最小值为a，当ln2≤a＜1时，最小值为ln2（12分）
当，即a≥1时，f（x）在[0，1]上是增函数
所以最小值为ln2．
综上，当0＜a＜ln2时，f（x）为最小值为a
当a≥ln2时，f（x）的最小值为ln2（14分）