Question

在xoy平面上有一系列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n），…，（n∈N*），点P_n在函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的圆P_n与x轴都相切，且圆P_n与圆P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_nx₁=1．
（I）求数列{x_n}的通项公式；
（II）设圆P_n的面积为S_n，，求证：．

Answer

（I）由题意圆Pn与Pn+1彼此外切，利用两圆外切等价于两圆心距等于圆的半径，化简出数列{xn}的递推关系，进而得到数列{xn}的通项公式．
（II）由于圆Pn的面积为Sn利用圆的面积公式求出，又有题中Tn的式子特点，利用裂项相消法，求出Tn，在利用简单的去一项即可得证．
【解析】
（I）圆Pn与Pn+1彼此外切，令rn为圆Pn的半径，
∴|PnPn+1|=rn+rn+1即
两边平方并化简得（xn-xn+1）2=4ynyn+1
由题意得，圆Pn的半径rn=yn=xn2，（xn-xn+1）2=4xn2xn+12
∵xn＞xn+1＞0；∴xn-xn+1=2xnxn+1，即
∴数列是以为首项，以2为公差的等差数列，
所以+（n-1）×2=2n-1，即
（II），
因为

==
所以，